Tres números con nombre
Hay tres números de gran
importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una
letra. Estos números son:
Los tres números tienen
infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se
repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo
se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los
tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).
Una diferencia
importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el
número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación
polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el
número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la
ecuación de segundo grado  es  que da como resultado el número de
oro.
La sección áurea y el número de
oro
La sección áurea es la
división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que
el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De
esta manera se establece una relación de tamaños con la misma
proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción
o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción
áurea.
Tomemos un segmento de
longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
Aplicando la proporción
áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que
resolver
Una de las soluciones de
esta ecuación (la solución positiva) es x= .
Lo sorprendente ahora es
calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el
menor,
Es decir, la relación entre las dos partes en que
dividimos el segmento es el número de oro.
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de
uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y
llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el
lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que
el lado mayor del rectángulo vale  por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).
Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en
proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros
semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en
arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito,
carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es
que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB
pasa por el vértice C.
 En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas
con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán
entonces:
Vamos a
demostrar que los vectores  y
 son proporcionales:
Por lo tanto, los tres puntos están alineados.
Pitágoras y el número de
oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y
matemático griego, nació en la isla de Samos.  Fue instruido en las enseñanzas de los
primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se
dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su
aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en
Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento
con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de
la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios,
similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la
obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la
sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis.
Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma.
Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido
Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido
permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias
previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas
realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números
pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en
la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron
el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de
toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos
estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En
geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la
hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que
el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados.
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación
de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede.
Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en
Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia
Continental, dando lugar a la difusión de las ideas
pitagóricas.
 La
estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el
símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban
que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían
cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio
símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.
 Por
ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el
número de oro.
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en
proporción áurea.
Ver la sección
La
trigonometría y el número de oro.
La sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se obtiene
sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a
34 será 34 + 21 = 55.
Esta sucesión es la llamada "sucesión de
Fibonacci"*.
*Es el sobrenombre con el que se
conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el
Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la
cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración
arábigo (el que usamos) frente al romano.
La sucesión de Fibonacci presenta diversas
regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado
en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado
los primeros catorce términos de esta sucesión:
| t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t6 |
t7 |
t8 |
t9 |
t10 |
t11 |
t12 |
t13 |
t14 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
233 |
377 |
-
Si sumas los cuatro primeros términos
y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los
cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo
(1+1+2+3+5 + 1 = 13).
-
Si sumas los tres primeros términos
que
ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale
el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro
primeros términos que ocupan posición impar
(t1,t3,t5,t7) sale el octavo
término (t8), (1+2+5+13 = 21).
-
Si sumas los tres primeros términos
que
ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades
1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13).
Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par
(t2,t4,t6,t8) y añades 1,
sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1
=34).
¡Aún las hay más difíciles de
imaginar!
-
Tomemos dos términos consecutivos,
por ejemplo: t4=3 y
t5=5; elevando al
cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando
t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y
sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la
sucesión.
-
Pero
si elevamos al cuadrado los cinco primeros
términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término:
12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros
términos, sale el producto del sexto y el séptimo
término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
-
Y quizás la más sorprendente sea la siguiente
propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre
el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:
1 : 1 =
1
2 :
1 = 2
3 : 2
= 1´5
5 : 3 =
1´66666666
8 : 5 =
1´6
13 : 8 = 1´625
21
:13 = 1´6153846....
34 :21 =
1´6190476....
55 :34 =
1´6176471....
89 :55 =
1´6181818....
Al tomar más términos de la sucesión
y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los
términos, los cocientes se acercan más a  =1,61803.... En
lenguaje matemático,
Efectivamente,
El número de oro en el arte, el diseño y la
naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos,
partes de nuestro cuerpo, ...
Un ejemplo de rectángulo áureo en el
arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar
que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas
que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y
CD/CA=.
 Hay un precedente a la cultura griega donde también
apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el
cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la
pirámide y el lado es 2.
 Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un
pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un
pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de
Mira en Asia Menor.
 Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las
tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las
cajetillas de tabaco.
Unas
proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y
romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió
para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca
Pacioli editado en 1509. 
En dicho libro se describen cuales han de ser las
proporciones de las construcciones artísticas. En particular,
Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre
las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando
manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo
armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos
cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el
tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del
cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la
circunferencia) es el número áureo.
 El
cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de
tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de
una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma
que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la
meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el
pentagrama místico pitagórico.
 En la naturaleza, aparece la proporción
áurea también en el crecimiento
de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo,
dimensiones de insectos y pájaros y la formación de
caracolas.
La
espiral logarítmica
Si
tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos
el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que
el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado
EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se
puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos
áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral
logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y
propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le
llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con
la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en
progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión
aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó
spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su
tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos
áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores
y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma
se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la
concha del nautilus.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han
dibujado las diagonales.  En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º,
72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el
doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de
triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos
ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y
no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos
diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c
y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen:
a>b>c>d.
Consideremos cada uno de estos triángulos por
separado y apliquemos el teorema del seno.
Triángulo ABE
 
Triángulo ABF
Triángulo AFG
 
Como 72º=180º-108º, se
verifica que sen72º=sen108º.
En consecuencia
podemos establecer las siguientes proporciones:
Es decir,
una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor,
la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a
nuestro número de oro.
Tomando la
primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo
b=1:
 (el numero de oro)
Es decir, dos
de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.
Como
consecuencia, se verifica  .
Curiosidades áureas
Potencias. Los números
 guardan unas curiosas
relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la
ecuación que tiene como solución el número de
oro:
Potencias 2. Consideremos la
sucesión de término general:  . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una
curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas
potencias
podemos
concluir que la sucesión dada se convierte en
Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede
obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la
misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.
Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan
como resultado el número de
oro:
1
2
1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se
comprueba que se verifica la ecuación
 . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los
términos a la izquierda se obtiene la ecuación final
 . Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro
.
2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la
relación
 . Quitando denominadores y pasando todos
los términos a la izquierda se obtiene la ecuación
 cuya solución positiva es el número de oro.
por Ignacio A. Langarita
Felipe
 | 
Tres números con nombre.
= 3,14159....(Pi) que relaciona la
longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2.
.