DIALOGO SOBRE MATEMÁTICA
POR ALFRED RENYI
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
ACADEMIA HÚNGARA DE CIENCIAS
TITULO ORIGINAL:
DIALOGUSOK A MATEMATIKÁRÓL
AKADEMIAI KIADÓ
BUDAPEST 1965
Sócrates
e Hipócrates
SOCRATES HIPOCRATES
Sócrates
¿Estás buscando a
alguien, querido Hipócrates?
Hipócrates
No, Sócrates, ya que acabo de encontrar
a quien buscaba, es decir, a ti. He estado buscándote por todas partes. Alguien
me dijo en el ágora que te vio caminando por aquí en la rivera del Iliso;
entonces vine tras de ti.
Sócrates
Bien, dime por qué
has venido, y entonces deseo preguntarte algunas cosas sobre la discusión
mantenida con Protágoras. ¿Aún la recuerdas?.
Hipócrates
¿Como puedes preguntármelo? Desde aquel
momento no ha transcurrido un solo día sin pensar sobre el particular. Hoy he
venido a buscar tu consejo ya que aquella discusión permanece en mi memoria.
Sócrates
Me parece, querido
Hipócrates, que quieras platicar conmigo sobre una cuestión precisa que yo
también deseo discutir contigo; por lo tanto ambos temas son uno y el mismo. Estimo
que los matemáticos están equivocados cuando dicen que dos nunca es igual a
uno.
Hipócrates
En efecto, Sócrates, la matemática es
justamente el tópico sobre el cual deseo hablar contigo.
Sócrates
Hipócrates, tú sabes
ciertamente que yo no soy matemático. ¿Por qué no le planteas tus preguntas al
famoso Teodoro?
Hipócrates
Tú eres admirable, Sócrates, ya que
respondes a mis preguntas aún antes de que te las haya planteado. He venido a
recabar tu opinión sobre mis deseos de llegar a ser alumno de Teodoro. Cuando
me acerqué a ti la última vez, con la intención de ser alumno de Protágoras,
fuimos hasta él y tú condujiste la discusión de forma tal que quedó bien claro
que él no sabía el tema objeto de sus enseñanzas. Fue así como cambié mis
deseos y no lo seguí. Esa discusión me ayudó a ver qué no debía hacer, pero no
me mostró qué debo hacer. Me estoy interrogando aún sobre ello.
He asistido a banquetes y a la palestra
con jóvenes de mi edad, y sin lugar a dudas he pasado momentos agradables, pero
ello no me satisface. Me molesta sentirme ignorante. Más precisamente,
presiento que el conocimiento que poseo es bastante incierto. Durante la
discusión con Protágoras, me he dado cuenta que mi conocimiento sobre
cuestiones familiares como la virtud, la justicia y el coraje estaban muy lejos
de ser satisfactorio. Sin embargo, pienso que he realizado un gran progreso ya
que ahora veo claramente mi propia ignorancia.
Sócrates
Estoy complacido,
querido Hipócrates, de que me comprendas tan bien. Yo siempre me digo
francamente que nada sé. La diferencia entre yo y la mayoría de la gente es que
no me imagino que sé algo cuando en realidad no lo sé.
Hipócrates
Ello muestra claramente tu sabiduría,
Sócrates. Pero esta certeza no es suficiente para mí. Tengo grandes deseos de
lograr conocimientos ciertos y sólidos y no seré feliz hasta haberlo
conseguido. Estoy constantemente reflexionando sobre la clase de conocimientos
que trataré de adquirir. Recientemente, Teeteto me dijo que la certeza existe
solamente en la matemática y me sugirió que estudiara matemática con su
maestro, Teodoro, quien es el mejor experto en números y geometría de Atenas.
Ahora, yo no deseo reiterar el mismo error que cometí cuando quise ser alumno
de Protágoras. Por lo tanto dime, Sócrates, ¿encontraré la clase de
conocimiento profundo que presiento si estudio matemática con Teodoro?
Sócrates
Si tú deseas estudiar
matemática, OH! hijo de Apolodoro, ciertamente lo mejor que puedes hacer es
acercarte a mi alta-mente apreciado amigo Teodoro. Pero debes decidir por ti
mismo el por qué realmente deseas estudiar matemáticas. Nadie puede conocer
mejor tus necesidades que tú mismo.
Hipócrates
¿Por qué te niegas a ayudarme,
Sócrates?. ¿Quizás te haya ofendido sin saberlo?
Sócrates
No me has comprendido,
mi joven amigo. No estoy enojado; pero tú preguntas algo imposible para mí.
Toda persona debe decidir por sí misma qué desea hacer. Lo único que puedo
hacer es, cual una partera, asistir al nacimiento de tú decisión.
Hipócrates
Por favor, querido Sócrates, no me
niegues tu ayuda y si estás libre en estos momentos, comencemos inmediatamente.
Sócrates
Muy bien, si lo
deseas. Sentémonos a la sombra del sicómoro y empecemos. Pero antes que todo
dime si estás presto a seguir la discusión de acuerdo a mis preferencias. Yo te
haré las preguntas y tú me las contestarás. Por este método llegarás a ver
claramente lo que actualmente sabes, para que florezcan las semillas del
conocimiento que hay en tu espíritu. Espero que no te comportes como el rey
Darío, que asesinó al maestro de sus minas porque extrajo solamente cobre de
una de ellas que el rey suponía contenía oro. Y espero también que no olvides
que un minero puede encontrar en la mina solamente lo que ella contiene.
Hipócrates
Juro que no haré reproches, pero, por
Zeus, comencemos de inmediato.
Sócrates
Bien, dime entonces,
¿sabes qué es la matemática?. Supongo que puedes definirla, ya que deseas
estudiarla.
Hipócrates
Pienso que un niño puede hacerlo. La
matemática es una de las ciencias y una de las más admirables.
Sócrates
No te he pedido que alabes
a la matemática, si no que describas su naturaleza. Por ejemplo, si te
interrogo sobre el oficio de los médicos me responderías que se trata de la
salud y la enfermedad y que su finalidad es curar los enfermos y preservar la
salud. ¿Estoy en lo cierto?
Hipócrates
Exactamente.
Sócrates
Respóndeme entonces lo
siguiente: ¿el oficio de los médicos trata con algo existente o con algo que no
existe?. ¿Sí no existieran los médicos, existirían los enfermos?
Hipócrates
Seguramente, y más que en la
actualidad.
Sócrates
Observemos ahora otro
arte, digamos la astronomía. ¿Estás de acuerdo conmigo en que los astrónomos
estudian el movimiento de las estrellas?
Hipócrates
Sin duda alguna.
Sócrates
Y si te pregunto si la
astronomía trata con cosas existentes; ¿cuál es tu respuesta?
Hipócrates
Mi respuesta es que si.
Sócrates
¿Existirían las estrellas
si no hubiera astrónomos en el mundo?
Hipócrates
Por supuesto. Y si Zeus y su cólera
destruyeran la humanidad, las estrellas continuarían brillando en el cielo por
las noches. ¿Pero, por qué estamos discutiendo de astronomía en lugar de
matemática?
Sócrates
Mi buen amigo, no seas
impaciente. Consideremos algunos otros oficios para compararlos con la matemática.
¿Como describirías a un hombre que sabe sobre todas las criaturas que viven en
los bosques o en las profundidades del mar?
Hipócrates
Es un científico que estudia la
naturaleza viviente.
Sócrates
¿Y estás de acuerdo en que
ese hombre estudia cosas que existen?
Hipócrates
De acuerdo.
Sócrates
¿Y si afirmo que todo
oficio trata con algo que existe, estarías de acuerdo?
Hipócrates
Completamente.
Sócrates
Dime ahora, mi joven
amigo, ¿cuál es el objeto de la matemática? ¿Qué objetos estudian los
matemáticos?.
Hipócrates
Le he planteado a Teeteto la misma
pregunta. El me contestó que un matemático estudia los números y formas
geométricas.
Sócrates
Bien, la respuesta es
correcta, pero ¿podrías afirmar que estas cosas existen?.
Hipócrates
Por supuesto. ¿Cómo podemos hablar de
ellas si no existen?.
Sócrates
Dime entonces, ¿si los
matemáticos no existieran, habría números primos, y si así fuera, qué serían
ellos?.
Hipócrates
Realmente, no sé que responderte. Es
claro que si los matemáticos piensan sobre los números primos, entonces ellos
existen en su conciencia. Pero si no hubiera matemáticos, los números primos no
estarían en parte alguna.
Sócrates
¿Pretendes con ello
significar que tenemos que decir que los matemáticos estudian objetos inexistentes?.
Hipócrates
Si, pienso que debemos admitirlo.
Sócrates
Examinemos la cuestión
desde otro punto de vista. Aquí, he escrito en esta tabla de cera el número 37.
¿Lo ves?.
Hipócrates
Si, lo veo.
Sócrates
¿Y puedes tocarlo con tu
mano?.
Hipócrates
Ciertamente.
Sócrates
¿Entonces quizá los
números existen?.
Hipócrates
OH Sócrates, te estás burlando de mí.
Mira aquí, he dibujado sobre la misma tabla un dragón con siete cabezas. ¿De
aquí se desprende que tal dragón existe?. Nunca he encontrado a alguien que
haya visto un dragón y estoy convencido que los dragones no existen excepto en
los cuentos de hadas. Pero supongamos que estoy equivocado, supongamos que
detrás de las columnas de Hércules existan realmente los dragones, ello no tiene
nada que ver con mi dibujo.
Sócrates
Tú dices la verdad,
Hipócrates, y estoy completamente de acuerdo contigo. ¿Pero eso significa que
si bien nosotros podemos hablar sobre ellos, y escribirlos, los números nunca
existen en realidad?.
Hipócrates
Ciertamente.
Sócrates
No saques conclusiones
apresuradas. Realicemos otra prueba. Estoy en lo cierto diciendo que podemos
contar las ovejas aquí en el prado o los barcos en el puerto de el Pireo.
Hipócrates
Si, podemos.
Sócrates
¿Y las ovejas y los barcos
existen?.
Hipócrates
Ciertamente.
Sócrates
¿Pero sí las ovejas
existen su número debe ser algo que existe también?.
Hipócrates
Tú te burlas de mí, Sócrates. Los
matemáticos no cuentan las ovejas; ese es trabajo de los pastores.
Sócrates
¿Quiere decir que lo que
estudian los matemáticos no es el número de ovejas o de barcos, u otros objetos
existentes, sino el número en sí mismo?. ¿Y así que ellos tratan con algo que
existe solamente en sus mentes?.
Hipócrates
Si, eso es lo que quiero decir.
Sócrates
Me has dicho que, de
acuerdo con Teeteto, los matemáticos estudian los números y tas figuras
geométricas. ¿Que se puede decir sobre las figuras?. Sí te pregunto sí ellas
existen, ¿cuál es tu respuesta?.
Hipócrates
Existen ciertamente. Podemos ver la forma
de un hermoso vaso, por ejemplo, y podemos palparlo con nuestras manos también.
Sócrates
Aún tengo un problema. Si
tú miras el vaso, ¿qué estás viendo, el vaso o su forma?.
Hipócrates
Veo ambas.
Sócrates
¿Es lo mismo que cuando
miras un cordero?. ¿Tú observas el cordero y también su lana?.
Hipócrates
Encuentro el símil muy bien elegido.
Sócrates
Bien, yo pienso que es
débil como Hefesto. Puedes cortar la lana del cordero y entonces ves el cordero
sin su lana, y la lana sin el cordero. ¿Puedes tú separar en una forma similar
la forma del vaso y la figura del vaso en sí mismo?.
Hipócrates
No, ciertamente, y me figuro que nadie
puede.
Sócrates
¿Y sin embargo aún crees
que puedes ver una figura geométrica?.
Hipócrates
Estoy empezando a dudarlo.
Sócrates
Además, sí los matemáticos
estudian las formas de los vasos, ¿podríamos llamarlos ceramistas?.
Hipócrates
Ciertamente.
Sócrates
Entonces, si Teodoro es el
mejor matemático ¿no sería el mejor ceramista también?. He escuchado a muchas personas
alabarlo, pero ninguno me ha dicho que él entiende algo de cerámica. Yo dudo si
él puede hacer un simple recipiente. ¿O quizá los matemáticos tratan con la
forma de tas estatuas o de los edificios?.
Hipócrates
Si así fuera, ellos serían escultores y
arquitectos.
Sócrates
Bien, mi amigo, hemos
llegado a la conclusión de que los matemáticos cuando estudian geometría no
tratan con la figura de tos objetos existentes como vasos, sino con formas, las
que existen solamente en sus pensamientos. ¿Estás de acuerdo?.
Hipócrates
Tengo que estarlo.
Sócrates
Habiendo establecido que
los matemáticos tratan con objetos que no existen en realidad sino solamente en
sus pensamientos, examinemos la afirmación de Teeteto que has menciona-do de
que la matemática nos da un conocimiento más confiable y seguro que cualquier
otra rama de la ciencia. Dime, ¿Teeteto dio algunos ejemplos?.
Hipócrates
Si, en efecto, dijo que no se puede
saber exactamente cuan lejos está Atenas de Esparta. Por supuesto, las personas
que viajan por esa ruta están de acuerdo sobre el número de días que tienen que
caminar, pero es imposible saber exactamente la distancia en pies. Por otra
parte, podemos decir, utilizando el teorema de Pitágoras, cuál es la longitud
de la diagonal de un cuadrado. También dijo Teeteto que es imposible dar el
número exacto de personas que viven en la Hélade. Si alguien trata de contarlos
nunca obtendrá el número exacto, debido a que durante el tiempo que se tarda en
hacerlo algunos ancianos pueden morir y algunos niños pueden nacer, por lo
tanto, el número total sería correcto sólo aproximadamente. Pero si tú
preguntas a un matemático cuántas aristas tiene un dodecaedro, él te responderá
que el dodecaedro está limitado por 12 caras y cada una tiene cinco aristas. Esto
hace 60, pero como cada arista pertenece a dos caras y por lo tanto ha sido
contada dos veces, el número de aristas del dodecaedro es igual a 30 y este
número está fuera de toda duda.
Sócrates
¿Mencionó él otros
ejemplos?.
Hipócrates
Algunos más, pero no los recuerdos
todos. Dijo que en realidad no se pueden encontrar nunca dos objetos que sean
exactamente iguales. No hay dos huevos exactamente iguales, y aún las columnas
del templo de Poseidón difieren ligeramente unas de otras, pero uno puede estar
seguro que dos diagonales de un rectángulo son exactamente iguales.
Él mencionó a Heráclito, quien dijo que
todo lo que existe está en constante cambio, y que un conocimiento seguro es
solamente posible sobre objetos que nunca cambian, por ejemplo, los pares y los
impares, la recta y el círculo.
Sócrates
Así será. Estos ejemplos
me convencen que en matemática podemos obtener un conocimiento más allá de toda
duda, mientras que en otras ciencias o en la vida diaria ello es imposible.
Hagamos un resumen de los resultados de nuestra investigación sobre la
naturaleza de la matemática. ¿Estoy en lo cierto cuando digo que hemos llegado
a la conclusión que la matemática estudia objetos que no existen y es capaz de
encontrar toda la verdad acerca de ellos?
Hipócrates
Efectivamente, a esa conclusión hemos
llegado.
Sócrates
Pero dime, por Zeus, mi
querido Hipócrates, ¿no es misterioso que podamos saber más sobre objetos que
no existen que sobre cosas existentes?.
Hipócrates
Si lo dices así, es ciertamente un
misterio. Pero estoy seguro que hay algún error en nuestras argumentaciones.
Sócrates
No, procedimos con el
mayor cuidado y controlamos todo paso de la argumentación. No puede haber
ningún error en nuestro razonamiento. Pero, escucha, recuerdo algo que puede
ayudarnos a resolver el enigma.
Hipócrates
Dímelo rápido, porque estoy bastante
perplejo.
Sócrates
Esta mañana estaba en el
hall del segundo arconte, donde la esposa de un carpintero de la aldea de
Pithos fue acusada de traición y que, con ayuda de su amante, asesinó a su
esposo. La mujer protestaba y juraba por Artemisa y Afrodita que era inocente,
que nunca amó a nadie que no fuera su marido, y que su esposo fue asesinado por
piratas. Muchas personas fueron citadas como testigos. Algunos manifestaron que
la mujer era culpable, otros dijeron que era inocente. Fue imposible establecer
qué ocurrió realmente.
Hipócrates
¿Te estás burlando de mí nuevamente?.
Primero me has confundido completamente, y ahora, en lugar de ayudarme a
encontrar la verdad me cuentas estas historias.
Sócrates
No te enfades, mi amigo,
tengo serias razones para hablar de esa mujer cuya culpabilidad fue imposible
determinar. Pero algo es seguro. La mujer existe. La vi con mis propios ojos y
a todos los que allí estaban, la mayoría de los cuales nunca han mentido en su
vida, les puedes plantear la misma pregunta y recibirás la misma respuesta.
Hipócrates
Tu testimonio es suficiente para mí,
querido Sócrates. Demos por sentado que la mujer existe. ¿Pero que tiene que
ver esto con la matemática?.
Sócrates
Más de lo que te imaginas.
Pero dime primero, ¿conoces la historia de Agamenón y Clitemnestra?.
Hipócrates
Todo el mundo conoce esa historia. He
visto la trilogía de Esquilo en el teatro el año pasado.
Sócrates
Cuéntame la historia en
pocas palabras.
Hipócrates
Mientras Agamenón, rey de Micenas,
luchaba bajo las murallas de Troya, su esposa, Clitemnestra, cometió adulterio
con Egisto, primo de su marido. Después de la caída de Troya, cuando Agamenón
retornó al hogar, su esposa y su amante lo asesinaron.
Sócrates
Dime, Hipócrates, ¿es
completamente seguro que Clitemnestra era culpable?.
Hipócrates
No entiendo por qué tú me preguntas
estas cuestiones. No hay dudas sobre la historia. De acuerdo con Hornero,
cuando Odiseo visitó el Averno encontró a Agamenón, quién le relató su trágico
destino.
Sócrates
¿Pero estás seguro que Clitemnestra
y Agamenón y todos los demás personajes de la historia realmente han existido?.
Hipócrates
Quizá me envíen al ostracismo si digo
esto en público, pero mi opinión es que es imposible determinar hoy, después de
muchas centurias, si las historias de Hornero son ciertas o no. Pero ello es
irrelevante. Cuando digo que Clitemnestra era culpable, no hablo acerca de la
real Clitemnestra - si tal persona ha existido alguna vez - sino sobre la
Clitemnestra de nuestra tradición homérica, sobre la Clitemnestra de la
trilogía de Esquilo.
Sócrates
¿Puedo decir que nada
sabemos sobre la real Clitemnestra?. Aún cuando su existencia es incierta, en lo
que respecta a Clitemnestra personaje en la trilogía de Esquilo, estamos
seguros que ella era culpable y mató a Agamenón porque eso es lo que nos dice
Esquilo.
Hipócrates
Si, por supuesto. ¿Pero por qué
insistes en todo esto?.
Sócrates
Lo verás en un momento.
Resumamos lo que hemos encontrado. Es imposible en el caso de la mujer de carne
y hueso que fue juzgada hoy en Atenas establecer si ella era culpable, mientras
que no caven dudas sobre la culpabilidad de Clitemnestra que es un personaje de
la obra y que probablemente nunca existió. ¿Estás de acuerdo?.
Hipócrates
Ahora es que comienzo a entender lo que
quieres decir. Pero sería mejor si extrajeras las conclusiones por ti mismo.
Sócrates
La conclusión es esta:
tenemos un conocimiento más cierto sobre personas que existen solamente en
nuestra imaginación, por ejemplo, acerca de tos personajes de un drama, que
sobre personajes reates. Si decimos que Clitemnestra era culpable, significa
solamente que así es como Esquilo la imaginó y presentó en su obra. La
situación es exactamente igual en matemática. Podemos estar seguros que las
diagonales de un rectángulo son ¡guales porque ello se desprende de la
definición de rectángulos dada por los matemáticos.
Hipócrates
¿Eso significa, Sócrates, que nuestro
paradójico resultado es real-mente cierto y que podemos tener un conocimiento
mucho más .verdadero sobre objetos no existentes - por ejemplo sobre los
objetos de la matemática - que sobre los objetos reales de la naturaleza?.
Pienso que ahora veo la razón de ello. Las nociones que nosotros mismos hemos
creado son por su misma naturaleza completa-mente conocidas para nosotros, y
podemos encontrar toda la verdad acerca de ellas porque no tienen otra realidad
fuera de nuestra imaginación. Sin embargo, los objetos que existen en el mundo
real no son idénticos con nuestra imagen que nos hacemos de ellos, la cual es
siempre incompleta y aproximada, por lo tanto nuestro conocimiento sobre estos
objetos reales no puede ser nunca completo o absolutamente verdadero.
Sócrates
Esa es la verdad, mi joven
amigo, y tú la has establecido mejor de lo que lo he podido hacer yo.
Hipócrates
El mérito es tuyo, Sócrates, porque me
has conducido hasta comprender estas cosas. Veo ahora que no solamente Teeteto
estuvo acertado en decirme que debo estudiar matemática si deseo obtener un
conocimiento cierto, sino también porque lo estuvo. Sin embargo, si me has
guiado con paciencia hasta ahora, por favor no me abandones, porque aún una de
mis preguntas, de hecho la más importan-te, no ha sido respondida.
Sócrates
¿Cuál es la pregunta?
Hipócrates
Por favor, Sócrates, recuerda que
llegué hasta ti buscando consejo si debo estudiar matemática. Tú me has ayudado
a darme cuenta que la matemática y solamente la matemática puede darme la clase
de conocimiento profundo que deseo. ¿Pero cuál es la utilidad de ese
conocimiento?. Es claro que si se obtiene algún conocimiento sobre el mundo
existente, aún si ese conocimiento es incompleto y no es lo suficiente certero,
es, sin embargo, de valor para el individuo así como para el estado. Aún en el
caso en que se obtiene algún cono-cimiento sobre objetos tales como las
estrellas, pueden ser útiles, por ejemplo en la navegación nocturna. ¿Pero cuál
es la utilidad del conocimiento sobre objetos que no existen como los que nos
ofrece la matemática?. Aún si es completo y más allá de toda duda, ¿cuál es la
utilidad del conocimiento en lo concerniente a objetos que no existen en
realidad?.
Sócrates
Mi querido amigo, estoy
casi seguro que conoces la respuesta, solamente deseas ponerme a prueba.
Hipócrates
Por Hércules, yo no conozco la
respuesta. Por favor, ayúdame.
Sócrates
Bien, tratemos de
encontrarla. Hemos establecido que los conceptos de la matemática son creados
por los matemáticos.
Hipócrates
Dime, ¿ello quiere decir que los
matemáticos eligen sus conceptos arbitrariamente como les plazca?.
Sócrates
Como te he dicho, no sé
aún mucho sobre matemática. Pero me parece que el matemático es tan libre de
elegir los objetos de su estudio como el poeta es libre de elegir los
personajes de su obra, y así como el poeta inviste a sus personajes con
cualquier cualidad que le plazca, del mismo modo el matemático provee a sus
nociones con las propiedades que él desea. Si ello fuera así, existirían tantas
verdades matemáticas como matemáticos. ¿Cómo explicarías entonces que todos los
matemáticos estudian las mismas nociones y problemas?. ¿Cómo explicas que, como
ocurre a menudo, matemáticos que viven muy distantes el uno del otro y no
tienen ningún contacto descubren independientemente las mismas verdades?. Nunca
he escuchado que dos poetas escribieran el mismo poema.
Hipócrates
Nunca he escuchado algo semejante. Pero
recuerdo que Teeteto me dijo algo acerca de un teorema muy interesante que él
descubrió sobre las distancias inconmensurables. Él mostró esos resultados a su
maestro, Teodoro, quien a su vez tenía una carta de Arquitas en la cual estaba
contenido el mismo teorema casi palabra por palabra.
Sócrates
En poesía eso sería
imposible. Tú ves que hay un problema. Pero continuemos. Cómo explicas que
matemáticos de diferentes países puedan habitualmente coincidir sobre la
verdad, mientras que sobre cuestiones que conciernen al estado, por ejemplo,
los persas y los espartanos tienen puntos de vista bastante opuestos de los
nuestros aquí en Atenas, y, además , nosotros a menudo no estamos de acuerdo
unos con otros.
Hipócrates
Puedo responderte la última cuestión.
En asuntos concernientes al estado, todos están interesados personalmente, y
esos intereses particulares están a menudo en contradicción. Es por ello que es
difícil llagar a un acuerdo. Sin embargo, a los matemáticos los mueve solamente
el deseo de encontrar la verdad.
Sócrates
¿Quieres decir con ello
que los matemáticos tratan de encontrar una verdad que es completamente
independiente de su propia persona ?
Hipócrates
Así es.
Sócrates
Pero entonces estábamos
equivocados al pensar que los matemáticos eligen los objetos de su estudio
según sus propios deseos. Me parece que el objeto estudiado tiene cierta clase
de existencia la cual es independiente de su persona. Debemos resolver este
nuevo dilema.
Hipócrates
No se por dónde empezar.
Sócrates
Si tu tienes aún
paciencia, intentémoslo juntos. Dime, ¿cuál es la diferencia entre el marino
que encuentra una isla des-habitada y el pintor que encuentra un nuevo color
nunca usa-do antes por pintor alguno?.
Hipócrates
Pienso que el marino puede
denominárselo un descubridor y el pintor un inventor. El marino descubre una
isla que existía antes que él, solamente que no se conocía, mientras que el
pintor inventa un nuevo color que antes no existía en absoluto.
Sócrates
Nadie podría responder
mejor a la pregunta. Pero dime, ¿el matemático que encuentra una nueva verdad,
la descubre o la inventa?. ¿Es un descubridor como el marino o un inventor como
el pintor?.
Hipócrates
Me parece que el matemático es más
parecido a un descubridor. El es un osado marino que navega el desconocido mar
del pensamiento y explora sus costas, islas y remolinos.
Sócrates
Muy bien expresado, y
estoy completamente de acuerdo con-tigo. Desearía agregar solamente que en
menor grado el matemático es también un inventor, especialmente cuando crea
nuevos conceptos. Pero todo descubrimiento debe tener, en cierto sentido, un
inventor también. Por ejemplo, si un navegante desea llegar a lugares que otros
predecesores no pudieron alcanzar, debe construir un barco que sea mejor que
los barcos usados por tos otros marinos. Los nuevos conceptos inventados por
los matemáticos son como los nuevos barcos que llevan al descubridor más lejos
en el gran mar del pensamiento.
Hipócrates
Querido Sócrates, tú me has ayudado a
encontrar la respuesta a una pregunta que me parecía muy difícil. La principal
aspiración de un matemático es explorar los secretos y enigmas del mar del
pensamiento humano. Ellos existen independientemente de la persona del
matemático, aunque no de la humanidad considerada como un todo. El matemático
tiene cierta libertad en inventar nuevos conceptos como herramientas, y me
parece que él puede hacerlo a discreción. Sin embargo, no es enteramente libre
para hacerlo porque los nuevos conceptos tienen que ser útiles para su trabajo.
El marino puede también construir cualquier clase de barco a su antojo, pero,
por supuesto, estaría loco si construye uno que se rompería en mil pedazos con
la primera tormenta. Pienso que ahora todo está claro.
Sócrates
Sí todo lo ves claramente,
trata nuevamente de responder la pregunta: ¿cuál es el objeto de la matemática?.
Hipócrates
Hemos llegado a la conclusión que
además del mundo en que vivimos, existe otro mundo, el mundo del pensamiento
humano, y el matemático es el intrépido marino que explora ese mundo, no
retrocediendo ante problemas peligrosos y aventuras que esperan por él.
Sócrates
Mi amigo, tu vigor juvenil
me estremece, pero lamento que en el ardor de tu entusiasmo pases
desapercibidas ciertas cuestiones.
Hipócrates
¿Cuáles son esas cuestiones?.
Sócrates
No deseo contrariarte,
pero presiento que tu interrogante principal no ha sido aún respondida. No
hemos respondido a la pregunta: ¿cuál es la necesidad de explorar el
maravilloso mar del pensamiento humano?.
Hipócrates
Tú tienes razón, querido Sócrates, como
siempre. ¿Pero dejarás de lado tu método esta vez y me dirás la respuesta de
inmediato?.
Sócrates
No, mi amigo, aún cuando
pudiera, no lo haría, y es por consideración hacia ti. El conocimiento que
alguien obtiene sin trabajo es casi despreciable para él. Comprendemos
cabal-mente sólo aquello que - quizá con alguna ayuda- encontramos nosotros
mismos, del mismo modo como la planta puede usar solamente el agua que ella
absorbe del suelo a través de sus propias raíces.
Hipócrates
Está bien, continuemos nuestra búsqueda
por el mismo método, pero ayúdame con una pregunta.
Sócrates
Volvamos al punto donde
habíamos establecido que el matemático no trata con el número de ovejas, barcos
u otros objetos existentes, sino con tos números propiamente dichos. ¿No piensas
tu, sin embargo, que lo que los matemáticos descubren como cierto para los
números puros es valedero también para los números de los objetos existentes?.
Por ejemplo, el matemático encuentra que 17 es un número primo. Por lo tanto,
¿no es cierto que no puedes distribuir 17 ovejas a un grupo de personas dando a
cada una el mismo número, a menos que ellas sean exactamente 17?.
Hipócrates
Por supuesto, es cierto.
Sócrates
Bien, y ¿sobre geometría?.
¿No puede aplicarse en la construcción de casas, para hacer un tiesto o para
calcular la cantidad de granos que puede contener un barco?.
Hipócrates
Por supuesto, puede aplicarse, aunque
me parece que para los propósitos prácticos del artesano no es necesaria mucha
matemática. Las reglas simples ya conocidas por los amanuenses de los faraones
de Egipto son suficientes para la mayoría de estos casos, y los nuevos
descubrimientos a los que se refirió Teeteto con tanto fervor ni son usados, ni
se necesitan en la práctica.
Sócrates
Quizá no de momento, pero
pueden ser utilizados en el futuro.
Hipócrates
Yo estoy interesado en el presente.
Sócrates
Si tu deseas ser un
matemático, debes darte cuenta que trabajarás principalmente para el futuro. Ahora,
volvamos a la cuestión principal. Vimos que el conocimiento sobre otro mundo
distinto del real, el mundo del pensamiento, respecto a cosas que no existen en
el sentido usual de la palabra puede ser utilizado en la vida diaria para
responder preguntas acerca del mundo real. ¿No es esto sorprendente?.
Hipócrates
Más que eso, es incomprensible. Es
realmente un milagro.
Sócrates
Quizá no sea tan
misterioso y si abrimos la corteza de esta cuestión, podemos encontrar una
auténtica perla.
Hipócrates
Por favor, querido Sócrates, no hables
con acertijos como una pitonisa.
Sócrates
Dime entonces, ¿te
sorprendes cuando alguien que ha viajado por países lejanos, que ha visto y
experimentado muchas cosas, retorna a su ciudad y utiliza su experiencia para
dar buenos consejos a sus conciudadanos?.
Hipócrates
En absoluto.
Sócrates
¿Aún si los países que el
viajeros ha visitado están muy distantes y habitados por una clase muy
diferente de personas que hablan otras lenguas, que adoran otros dioses?.
Hipócrates
Tampoco en ese caso, porque hay mucho
de común entre pueblos diferentes.
Sócrates
Dime ahora, si hemos
llegado a la conclusión de que el mundo de la matemática es, a pesar de sus
particularidades, en algún sentido similar a nuestro mundo real, ¿aún
encontrarías milagroso que la matemática pueda aplicarse al estudio del mundo
real?.
Hipócrates
En este caso no, pero no veo ninguna
analogía entre el mundo real y el mundo imaginario de la matemática.
Sócrates
¿Ves aquella roca al otro
del río, donde el río se ensancha para formar un lago?
Hipócrates
La veo.
Sócrates
¿Y ves también la imagen
de la roca reflejada en el agua?.
Hipócrates
Ciertamente la veo.
Sócrates
¿Dime entonces, cuál es la
diferencia entre la roca y su reflejo en el agua?.
Hipócrates
La roca es una pieza sólida de materia
dura, se calienta bajo el sol. Si tú la tocas, sentirás que es áspera. La
imagen reflejada no puede tocarse; si pongo mi mano sobre ella, solamente
tocaré el agua fría. En particular, la imagen reflejada no existe realmente; es
una ilusión, nada más.
Sócrates
¿No hay nada en común
entre la roca y su imagen reflejada?
Hipócrates
Bueno, en un cierto sentido, la imagen
reflejada es una verdadera representación de la roca. El contorno de la roca,
aún sus pequeños desniveles, son visibles claramente en la imagen reflejada.
¿Pero qué más?. ¿Quieres decir que el mundo de la matemática es la imagen
reflejada del mundo real en el espejo de nuestro pensamiento?.
Sócrates
Tu lo has dicho, y muy
bien.
Hipócrates
Pero ¿cómo es ello posible?.
Sócrates
Veamos cómo se han desarrollado
los conceptos abstractos en matemática. Hemos dicho que el matemático trata con
números puros y no con los números de los objetos reales. Pero, crees tú que
alguien que no ha contado nunca objetos reales puede entender la noción
abstracta de número?. Cuan-do un niño aprende a contar, cuenta primero
guijarros y pali-tos. Solamente si sabe que dos guijarros y tres guijarros son
cinco guijarros y análogamente para palitos y monedas, está en condiciones de
comprender que dos y tres son cinco. La situación es esencialmente la misma con
la geometría. El niño llega a la noción de esfera a través de experiencias con
objetos redondos como pelotas, por ejemplo. La humanidad ha desarrollado todas
las nociones fundamentales de la matemática en forma similar. Esas nociones
cristalizan a partir del conocimiento del mundo real, y por lo tanto no es
sorprendente sino bastante natural que ellas lleven las marcas de su origen, así
como los niños se parecen a sus padres. Y exactamente como los niños cuando
crecen son el apoyo de sus padres, así cualquier rama de la matemática, sí está
suficiente-mente desarrollada, se convierte en una herramienta muy útil para
explorar el mundo real.
Hipócrates
Ahora está bastante claro para mi cómo
el conocimiento de los objetos no existentes del mundo de la matemática puede
ser utilizado en la vida diaria. Me has prestado un gran servicio ayudándome a
comprenderlo.
Sócrates
Te envidio, querido
Hipócrates, porque yo aún me pregunto sobre algo que desearía resolver. Quizá tú
puedas ayudarme.
Hipócrates
Lo haría con placer, pero lamento que
te burles de mí nuevamente. No me avergüences solicitándome ayuda; pero, dime
francamente cuál es el asunto que he pasado por alto.
Sócrates
Lo verás por ti mismo si
tratas de resumir los resultados de nuestra discusión.
Hipócrates
Bien, cuando estuvo claro por qué la
matemática es capaz de dar un conocimiento cierto sobre un mundo diferente al
que vivimos, acerca del pensamiento humano, la cuestión que nos quedaba
pendiente era la utilidad de ese conocimiento. Hemos encontrado que el mundo de
la matemática no es nada más que un reflejo en nuestro pensamiento del mundo
real. Esto permite que todo descubrimiento sobre el mundo de la matemática nos
de alguna información sobre el mundo real. Estoy completamente satisfecho con
esta respuesta.
Sócrates
Si te digo que la
respuesta es aún incompleta, lo hago no porque quiera confundirte, sino porque
estoy seguro que tarde o temprano tú te plantearás la misma pregunta, y me
reprocharás el no haberte llamado la atención sobre el punto. "Dime, ¿cuál
es el sentido de estudiar la imagen reflejada, si puedo estudiar el objeto
mismo?.
Hipócrates
Tienes toda la razón, es una pregunta
obvia. Tú eres un mago, Sócrates. Tu me puedes confundir totalmente con pocas palabras
y puedes derribar con una pregunta aparentemente ¡nocente todo el edificio que
he construido con mucho trabajo. Por supuesto, yo habría respondido que si
nosotros podemos observar el objeto original, no tiene sentido mirar la imagen
reflejada. Pero estoy seguro que esto muestra que nuestra analogía falla en
este punto. Ciertamente existe una respuesta, pero no se cómo encontrarla.
Sócrates
Tu conjetura es correcta,
la paradoja surgió porque tenemos muy cerca el símil de la imagen reflejada.
Una analogía es como un arco, sí tu lo tensas demasiado, se rompe
violentamente. Desechémosla y elijamos otra. Tú ciertamente sabes que los
viajeros y marinos hacen buen uso de los mapas.
Hipócrates
Lo he experimentado yo mismo. Tú
¿quieres decir que la matemática nos proporciona un mapa del mundo real?.
Sócrates
Si. ¿Puedes responderme
ahora la siguiente pregunta: qué ventaja habría en mirar el mapa en lugar de
mirar el paisaje?.
Hipócrates
Eso es claro: usando el mapa podemos
escudriñar grandes distancias que podrían cubrirse solamente viajando varias
semanas o meses. El mapa no nos muestra todos los detalles, sino las cosas más
importantes. Por lo tanto, es útil si deseamos planificar un largo viaje.
Sócrates
Muy bien. Pero hay algo
más que se me ha ocurrido.
Hipócrates
¿Qué es?.
Sócrates
Hay otra razón por la cual
el estudio de la imagen matemática del mundo puede ser de utilidad. Si los
matemáticos descubren cierta propiedad del círculo, esto al instante nos da
información sobre cualquier objeto de forma circular. Así, el método de la
matemática nos permite tratar con diferentes objetos al mismo tiempo.
Hipócrates
Qué me dirías sobre las siguientes
analogías: Si alguien observa una ciudad desde la cima de una montaña cercana,
obtiene una visión más completa que si camina a través de sus sinuosas calles;
o si un general observa los movimientos del ejército enemigo desde una colina,
tiene un cuadro más exacto de la situación que el soldado en la línea de frente
y que ve solamente a aquellos que se le ponen directamente.